【技術(shù)帖】初窺射頻世界——傳輸線、反射系數(shù)和史密斯圓圖

本文力求通俗，從傳輸線開始到史密斯圓圖，介紹了射頻領(lǐng)域幾個基礎(chǔ)的概念，希望能給“欲渡無舟楫”的年輕射頻從業(yè)者一塊小小的浮木，也祝愿大家早日抵達屬于自己的星辰大海。

當(dāng)一個基帶工程師和射頻工程師同時來到Layout工程師這里，基帶工程師對Layout工程師說，兄弟，我這根電源線再加寬點，要保證總電阻小于0.2歐姆。射頻工程師對Layout工程師說，兄弟，我這根微帶線也要加寬一點，第二層挖空，兩側(cè)0.2mm間距，保證阻抗為50歐。

剛?cè)胄械幕鶐Чこ處熀芾Щ?，心想用銅線盤出50歐阻值，那得多長呀？于是請教射頻工程師，射頻工程師說這叫特性阻抗，跟導(dǎo)體的電阻不一樣，接連便是更難懂的話，什么“分布參數(shù)”，什么“根號下L/C”之類。年輕的基帶工程師略帶尷尬地點了點頭，心想，他說的歐姆和我說的歐姆是一個東西嗎？

是也不是！

傳輸線和特性阻抗

01至少由兩根導(dǎo)體組成，比如說“平行線”就是兩條導(dǎo)線，“同軸線”由圓筒狀的外殼和細長的芯線組成，“微帶線”由導(dǎo)體參考平面和一根扁長的導(dǎo)線組成。實際使用中，我們通常把其中一根導(dǎo)體接地，另一根作為承載信號的線。

02傳輸線是細長的線狀結(jié)構(gòu)，有特定的信號傳輸方向即正反兩個信號傳輸方向，傳輸線一定是個兩端口器件，隨便拿兩個導(dǎo)體來討論特性阻抗是沒有意義的。

滿足上面三個前提后，我們再看看特性阻抗的物理意義:

我們知道波的速度是有限的，最大就是真空光速，在傳輸線中則更慢一些，也就是說，從傳輸線一端加一個1V的階躍信號(如果不懂階躍信號，就想象傳輸線上本來沒電，兩根導(dǎo)體不連接但電勢差為0，現(xiàn)在給兩根導(dǎo)體之間加一個1V的電壓)，那么從信號發(fā)出，到傳輸線的另一端測量到這個信號會有一些延遲，延遲與傳輸線長度成正比，那么對于激勵源來說，在信號發(fā)出后，但還未到達另一端這段時間內(nèi)發(fā)生了什么呢？

傳輸線兩根導(dǎo)體之間存在分布電容，由于傳輸線是均勻的，那么單位長度上的分布電容容值是相同的，當(dāng)1V的電壓上升沿沿傳輸線向前推進的過程中，信號前方是沒有充電的分布電容，后方是充到1V的電容，既有越來越多的電容被充到1V，給這些電容充電需要激勵源提供電流，由于傳輸線是均勻的，信號向前推進的速度也是固定的，所以單位時間內(nèi)需要充電的分布電容容值也是恒定的，這意味著激勵源需要提供的電流是恒定的。

已知階躍信號的電壓是1V，在階躍信號傳輸過程中激勵源需要提供一個恒定的電流I，這個I的大小只取決于傳輸線的橫截面特性，那么傳輸線的特性阻抗R=1V/I。

工程上通常把傳輸線的特性阻抗設(shè)計為50歐或者75歐，就這樣，傳輸線便有了一個與長度無關(guān)，與橫截面有關(guān)的特性阻抗。

傳輸線末端的反射

當(dāng)階躍信號的沿到達傳輸線末端，如果傳輸線末端開路，會發(fā)生什么呢？

前面說特性阻抗的物理意義，提到了“波速有限”和“分布電容”但沒有提“分布電感”，實際上正因為分布電感和分布電容同時存在，他們在單位長度上的時間常數(shù)決定了這根傳輸線中的波速，這才導(dǎo)致了“波速有限”這個結(jié)果，這幾個物理量總是同時存在的，不好說哪個是因哪個是果，以我有限的知識和直覺，我只能說這可能有更深層次的物理學(xué)原理。

由于分布電感的存在，傳輸線上的電流不能突然變?yōu)?，這意味著末端的分布電容會被充到更高的電壓，使得末端附近的分布電感兩端電壓反向，反向電壓先減弱了正向電流，緊接著便使得電流反向，從宏觀上來看，就是階躍信號被反射回去了。

兩個同頻正弦信號的比是一個復(fù)數(shù)

前面說到階躍信號在傳輸線末端會發(fā)生反射，實際上任何形式的信號在傳輸線末端都會發(fā)生反射，其中研究正弦信號的反射具有重要意義，因為根據(jù)傅里葉提出的相關(guān)理論，在數(shù)學(xué)上證明了任何能量信號均可以表示為一組正弦信號的和。

對于正弦信號的反射，顯然反射信號與入射信號同頻，如何比較同頻正弦信號呢？

事實上在射頻領(lǐng)域，我們經(jīng)常需要比較兩個同頻正弦信號，除了上述反射信號，還有通過線性系統(tǒng)的輸入和輸出信號，也是同頻的，此外還有電容、電感和電阻兩端的電壓和通過它的電流，如果電壓是正弦信號，那么電流也是同頻的正弦信號。

不妨設(shè)其中一個正弦信號的幅度為1，初相為0：

另一個信號可以表示為：

上面兩個信號，在任何時刻（t取任意值）都有恒定的幅度之比A和恒定的相位差θ，因此兩個同頻正弦信之比與t無關(guān)，我們暫且將其表示為：

注意到兩個信號之比的運算規(guī)則為幅度作商，相位作差，符合極坐標(biāo)向量的運算規(guī)格，因此使用一個指數(shù)形式的復(fù)數(shù)來表示兩個實信號之比是可能的：

上述復(fù)數(shù)也可以通過歐拉公式換算為a+bj的形式：

其中：

至此，我們明確了兩個同頻正弦信號之比可以用一個復(fù)數(shù)來表示，而復(fù)數(shù)有“幅度、角度”和“實部、虛部”兩種表示方法，兩種表示在數(shù)學(xué)上是等價的。

復(fù)阻抗

我們知道電容和電感是儲能元件，不會耗散電功率，若以正弦信號作為激勵，其物理意義就是在某半個周期儲能，而在下半個周期釋放能量，其電壓和電流總是相差90度，因此其電壓和電流之比（即阻抗），相位差總是90度（電感）或者-90度（電容），在復(fù)平面上位于虛軸上，因此電容和電感的阻抗都是純虛數(shù)，其中電感的阻抗是正虛數(shù)，電容的阻抗是復(fù)虛數(shù)。

當(dāng)正弦電壓作用于電阻器時，電壓和電流同相，因此電阻器的阻抗是正實數(shù)。

若存在一種元件，當(dāng)正弦電壓作用于其兩端時，其電壓與電流反相，那這種元件實際上是對外輸出電功率的，因此這種元件必然含有電源，換句話說，無源網(wǎng)絡(luò)（即阻容感的任意連接組合）的阻抗實部不小于0。

反射系數(shù)

前面說到傳輸線末端會發(fā)生反射，若傳輸線末端接一個負載，反射的同時也有一部分能量被負載吸收。

反射系數(shù)Γ定義為反射信號和入射信號的比。

在如上圖所示的電路中，在傳輸線和負載的連接點有a, b兩點，以b點為0電勢參考點，考慮a點，則a點上的入射電壓U_i和從左向右電流I_i，也有反射電壓U_r和從右向左的反射電流I_r, 根據(jù)a點左右兩側(cè)的電壓和電流的連續(xù)性，有：

因為入射和反射信號都在傳輸線上，傳輸線的特性阻抗為Z₀，而U_L在負載兩端，根據(jù)歐姆定律：

反射系數(shù)Γ定義為反射信號和入射信號的比，聯(lián)立上述5個方程，不難得到：

A

工程上通常將Z₀設(shè)計為一個常數(shù)，通常是50歐，在這種情況下，負載的反射系數(shù)Γ與Z_L實際上是一一對應(yīng)的關(guān)系，其映射關(guān)系便是：

即當(dāng)Z₀=50Ω時，傳輸線上的反射信號與入射信號之比只與負載阻抗Z_L相關(guān)，與入射信號無關(guān)。

史密斯圓圖

上節(jié)說到工程上將Z₀設(shè)計成50歐，負載的阻抗和其反射系數(shù)是一一對應(yīng)的，可以相互換算，換算關(guān)系為：

前面也提到了對于無源負載來說，Z_L的實部不小于0，即Z_L的取值范圍是包括虛軸在內(nèi)的右邊半個復(fù)平面：

那么反射系數(shù)Γ的取值范圍就可以計算出來：

不難證明反射系數(shù)的模小于等于1，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時，|Γ|=1，當(dāng)Z_L=50時，Γ=0。

即無源負載的阻抗分布在包括虛軸在內(nèi)的右邊半個復(fù)平面，其反射系數(shù)映射到一個半徑為1的圓內(nèi)，并且Z平面的虛軸映射到Γ平面模為1的圓上，Z平面的50+0j映射到Γ平面的原點（圓心）。

如此，我們可以用一個動圖直觀地展示Z平面變換到Γ平面的過程，開始之前，我們在Z平面畫出虛部（可正可負）和實部（只能為正）分別等于0、10、20、50、100、250的幾條線，觀察它們變換到Z平面后的狀態(tài)：

注意：該動畫旨在形象地說明變換前后的映射關(guān)系，中間的過程并沒有物理意義。

至此，我們便得到了史密斯圓圖的阻抗形式，即史密斯阻抗圓圖的物理意義就是把Z平面某些特定值的水平線和垂直線繪制在Γ平面內(nèi)。其之所以表現(xiàn)為一個圓，是因為無源阻抗的反射系數(shù)取值范圍是一個圓。

相比于無限大的Z平面，使用有限大小的史密斯圓圖來繪制負載特性，不僅更加直觀，也更加方便計算VSWR等其他指標(biāo)，或者用于計算阻抗變換過程中所需的LRC取值。

下圖便是一個無源阻抗變換的計算實例，通過電腦軟件，可以輕松算出所需的匹配元件取值：

寫在最后

我們在中學(xué)就學(xué)過導(dǎo)體是等勢體，導(dǎo)體內(nèi)部處處電勢相等，工作后我們說一根線上的電壓是多少V，不會特地指明這根線的什么位置是多少V，因為整根線都是一樣的，但這只是靜態(tài)電場下的情況，或者說是低速變化電場下的近似情況。

就好比我們說因為水是流體所以水面是平的，這似乎是個正確的理論，并且多數(shù)情況下這是沒有問題的，然而它卻解釋不了波浪。同樣的，射頻領(lǐng)域研究的電學(xué)規(guī)律類似于波浪在水面的規(guī)律。當(dāng)高頻信號作用于傳輸線，傳輸線上各點的電壓都不同，猶如微風(fēng)在平靜的水面吹起了波紋，波紋碰到巖壁發(fā)生了反射，由此產(chǎn)生的一系列問題等著我們?nèi)ソ獯稹?/p>

用試管研究水是看不見波浪的，只有走向汪洋大海才能體會到波瀾壯闊，旅行者一號在65億公里外，用22W的發(fā)射機和拋物面天線，艱難地向地球發(fā)出了微弱的電波，電波所到之處便是真正的星辰大海，這是射頻技術(shù)的浪漫。