解卷積恢復(fù)頻譜

01?解卷積

一、前言

前兩天討論了在單片機(jī)頻譜分析軟件中，通過(guò)數(shù)據(jù)加窗方法來(lái)減少結(jié)果中的雜散頻譜。有同學(xué)提議，既然理論上知道，舉行加窗引起結(jié)果中頻譜失真。是信號(hào)頻譜與 方波的頻譜，也就是 sinc 函數(shù)卷積的結(jié)果。那么為什么不能夠直接對(duì)頻譜信號(hào)，通過(guò)解卷積運(yùn)算，恢復(fù)原始信號(hào)的頻譜呢？? ?提出這個(gè)觀點(diǎn)的同學(xué)顯然對(duì)于卷積，解卷積運(yùn)算比較熟悉。那么到底是否可以通過(guò)解卷積來(lái)恢復(fù)原始信號(hào)的頻譜呢？

二、解卷積

對(duì)于兩個(gè)離散序列信號(hào)，它們的卷積，?定義為右邊的表達(dá)式。如果已知它們的卷積結(jié)果，以及其中一個(gè)信號(hào)，求解另外 一個(gè)信號(hào)，這個(gè)過(guò)程被稱為解卷積。一般情況下，求解解卷積不太方便。但是，當(dāng)兩個(gè)信號(hào)都是因果信號(hào)時(shí)，我們可以有一個(gè)比較簡(jiǎn)潔的解卷積遞推公式。也就是把卷積和分成兩部分，把卷積結(jié)果記為 y[n]，基于這個(gè)表達(dá)式，我們可以得到 x[n] 求解的遞推公式。

基于這個(gè)表達(dá)式，將累加部分，轉(zhuǎn)移到方程的左邊，???再把 h[0] 除到左邊，這一下就好了，我們得到了 關(guān)于 x[n] 求解的遞推公式了。

在這個(gè)公式中，y[n]是已知的卷積結(jié)果，h[n]是已知的一個(gè)序列。從 0 到 n-1 的 x[n] 是已經(jīng)求出的前 x[n]由此，可以計(jì)算出 x[n]。根據(jù)這個(gè)方法，?可以寫出x[0] ?的表達(dá)式，接下來(lái)求出x[1]，求出x[2]，求出x[3]。由此，逐步求出所有的 x[n] 的取值。

這種通過(guò)遞推進(jìn)行解卷積的方法，需要一個(gè)假設(shè)條件，那就是要求參與卷積的兩個(gè)序列信號(hào) ?x[n], h[n] ?都是因果信號(hào)才行。

在前面數(shù)據(jù)加窗頻譜分析過(guò)程中，參與卷積的兩個(gè)頻譜，矩形窗口的頻譜不是因果信號(hào)。所以，上面解卷積的方法就無(wú)法使用。

三、時(shí)域分析

實(shí)際上，無(wú)法通過(guò)解卷積獲得信號(hào)真實(shí)頻譜，這其中的原因也可以在時(shí)域進(jìn)行分析。對(duì)于得到的一段數(shù)據(jù)，是由無(wú)限長(zhǎng)的正弦波與窗口信號(hào)相乘而得。因此，將加窗后的數(shù)據(jù)，除以窗口信號(hào)?理論上就可以得到原始信號(hào)。但在這里就遇到了困難。因?yàn)榇翱谛盘?hào)兩邊都是 0，實(shí)際上 乘以 0 之后，原來(lái)的數(shù)據(jù)是無(wú)法從乘積結(jié)果中進(jìn)行恢復(fù)的。這也說(shuō)明，無(wú)法通過(guò)對(duì)頻譜進(jìn)行解卷積獲得實(shí)際頻譜了。

※ 結(jié)??論 ※

本文對(duì)通過(guò)解卷積恢復(fù)數(shù)據(jù)頻譜進(jìn)行了探討。實(shí)際上，是無(wú)法進(jìn)行恢復(fù)的。