談?wù)勑?shù)的表示方法之定點(diǎn)數(shù)

在數(shù)字信號處理中往往都需要進(jìn)行大量的數(shù)字運(yùn)算，比如，數(shù)字信號的解調(diào)，需要采集大量的IQ數(shù)據(jù)對其進(jìn)行解調(diào)運(yùn)算。在實(shí)際的研究和學(xué)習(xí)中我們一般會在操作系統(tǒng)中利用豐富的軟件給我們提供的便捷的計(jì)算工具進(jìn)行計(jì)算（Matlab、Python等），這可以很方便的處理我們所研究的數(shù)字信號。然而，學(xué)過計(jì)算機(jī)原理或者匯編語言的同學(xué)會清楚，數(shù)據(jù)的運(yùn)算的最終是在計(jì)算機(jī)硬件上來完成的，我們在操作系統(tǒng)層面的數(shù)據(jù)運(yùn)算往往意味著需要進(jìn)行大量的資源的調(diào)度。雖然現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)的性能已經(jīng)非常的強(qiáng)大，但是對于面向應(yīng)用的產(chǎn)品來說，其處理器性能往往和計(jì)算機(jī)不能相提并論。

通常，在通信、圖像等數(shù)字信號處理中，會采用硬件芯片的方式進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算（DSP、FPGA等），通過這種硬件芯片上進(jìn)行數(shù)字信號運(yùn)算，可以很好的提高運(yùn)算效率，這也在工程應(yīng)用中廣為采用的一種方式。在這些處理器中往往各種數(shù)據(jù)都是通過整數(shù)形式存儲（比如，通信中的IQ數(shù)值的存儲）。實(shí)際上，我們需要進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)據(jù)大多都是小數(shù)，那么，該怎么解決呢？一般的我們可以通過定點(diǎn)數(shù)這種方式來表示小數(shù)。

什么是定點(diǎn)數(shù)

定點(diǎn)數(shù)英文名叫Fixed Point Number，其關(guān)鍵地方就在定和點(diǎn)這兩個(gè)字上面，即在表示小數(shù)數(shù)據(jù)時(shí)，把小數(shù)點(diǎn)的位置已經(jīng)約定好固定在某個(gè)位置。與之對應(yīng)的是浮點(diǎn)數(shù)，其小數(shù)點(diǎn)的位置不是固定的，關(guān)于浮點(diǎn)數(shù)先不做展開。

定數(shù)表示

在定點(diǎn)數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)可以將數(shù)據(jù)分為整數(shù)和小數(shù)部分，因此我們可以約定小數(shù)點(diǎn)在數(shù)據(jù)中的不同位置，就可以表示不同大小和精度的小數(shù)。例如，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)位置約定在符號位和數(shù)值位之間，就表示純小數(shù)；當(dāng)小數(shù)點(diǎn)約定在最末尾位置時(shí)，就可以表示純整數(shù)。

純小數(shù)

純整數(shù)

如何描述定點(diǎn)數(shù)的這種規(guī)則呢？其實(shí)，我們可以使用兩種方法來表示：

• Q來表示法Qx，x表示小數(shù)的位數(shù)。
• S表示法Sx.y，x表示整數(shù)位數(shù)，y表示小數(shù)位數(shù)。

我們知道在計(jì)算機(jī)中根據(jù)是否存在符號位可以分成無符號整數(shù)和有符號整數(shù)，當(dāng)然，對于定點(diǎn)數(shù)也可以根據(jù)有無符號位分為：

• 無符號定點(diǎn)數(shù)：無符號位
• 有符號定點(diǎn)數(shù)：有符號位

無符號定點(diǎn)數(shù)

無符號定點(diǎn)數(shù)，數(shù)值在機(jī)器中字長的全部二進(jìn)制位中沒有符號位，全都是數(shù)值位。例如，小數(shù)1.2轉(zhuǎn)換成16位的定數(shù)，小數(shù)點(diǎn)的位置約定在第14位和第15位之間。

無符號Q14

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，小數(shù)1.2可以用Q14格式的無符號定點(diǎn)數(shù)19661表示。

無符號定點(diǎn)數(shù)比較簡單，不存在負(fù)小數(shù)；但是，有符號定點(diǎn)數(shù)就沒這么簡單了，因?yàn)榇嬖谡?fù)數(shù)，其計(jì)算方法也不盡相同。

原碼、反碼、補(bǔ)碼

原碼、反碼、補(bǔ)碼在大多數(shù)的計(jì)算機(jī)編程相關(guān)的書籍里基本上都會提到。在學(xué)習(xí)有符號定點(diǎn)數(shù)之前，我們需要先復(fù)習(xí)一下原碼、反碼和補(bǔ)碼。因?yàn)閿?shù)據(jù)在計(jì)算中的存儲方式是以補(bǔ)碼的形式存儲的，在學(xué)習(xí)有符號定點(diǎn)數(shù)之前，所以，我們有必要先復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容。

• 原碼：最高位作為符號位（無符號則沒有符號位），其他位是數(shù)據(jù)二進(jìn)制真值絕對值。例如，無符號數(shù)5，其8位二進(jìn)制數(shù)的原碼為0000 0101;有符號數(shù)5，其8位二進(jìn)制的原碼為0000 0101;有符號數(shù)-5，其8位二進(jìn)制的原碼1000 0101。
• 反碼：正數(shù)的反碼是其原碼本身，負(fù)數(shù)的反碼在其原碼的基礎(chǔ)上符號位不變，其他位取反。例如，無符號數(shù)5，其8位二進(jìn)制數(shù)的反碼為0000 0101;有符號數(shù)5，其8位二進(jìn)制數(shù)的反碼為0000 0101;而有符號數(shù)-5，其8位二進(jìn)制的反碼為1111 1010。
• 補(bǔ)碼：正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其反碼基礎(chǔ)上加1。例如，無符號數(shù)5，其8位二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼為0000 0101;有符號數(shù)5，其8位二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼為0000 0101;而有符號數(shù)-5，其8位二進(jìn)制的補(bǔ)碼為1111 1011。

對于正數(shù)來說，

原碼 = 反碼 = 補(bǔ)碼

對于負(fù)數(shù)來說，

反碼 = 符號位不變，原碼取反

補(bǔ)碼 = 反碼 + 1

有符號定點(diǎn)數(shù)

有符號定點(diǎn)數(shù)，需要專門取一位數(shù)據(jù)位作為符號位，通常，符號位上的1表示負(fù)數(shù)，0表示正數(shù)，其余位為數(shù)值位。例如，將小數(shù)0.8和-0.8轉(zhuǎn)成Q15格式的定點(diǎn)數(shù)。

有符號Q15

求正數(shù)0.8的定點(diǎn)數(shù)：

求負(fù)數(shù)-0.8的定點(diǎn)數(shù)：

在有符號定點(diǎn)數(shù)中，需要要注意負(fù)數(shù)的計(jì)算與正數(shù)有所不同。

最后

定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)都可以表示小數(shù)，而定點(diǎn)數(shù)的精度固定，表現(xiàn)范圍比較有限；但是，定點(diǎn)數(shù)在硬件上比較容易去實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際的數(shù)據(jù)算法中，定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算效率比浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算效率有大大的提高，同時(shí)也降低了數(shù)據(jù)存儲資源。因此，定點(diǎn)數(shù)會被廣泛的應(yīng)用到數(shù)字信號處理的各種應(yīng)用場景中。